Ali številke res obstajajo? Filozofija, zgodovina in formalna konstrukcija

Začetek » kultura » Ali številke res obstajajo? Filozofija, zgodovina in formalna konstrukcija

Ko uporabljamo številke za merjenje časa, plačilo v supermarketu ali preverjanje stanja na bančnem računu, jih jemljemo kot samoumevne, kot da bi bile tako resnične kot naši ključi od hiše. Če pa o tem dobro premislimo, postanejo stvari bolj zapletene: V kakšnem smislu številke resnično "obstajajo"?So nekaj, kar odkrijemo, kot planeti, ali nekaj, kar si izmislimo, kot liki v romanu?

Ta razprava na precej fascinanten način prepleta filozofijo, zgodovino in matematiko. Skozi stoletja so bili predlagani različni odgovori: od tistih, ki verjamejo, da so števila del nekakšnega "abstraktnega sveta", neodvisnega od nas, do tistih, ki trdijo, da niso nič drugega kot simbolična orodja, ki smo jih ustvarili za štetje, merjenje in sklepanje. Med potjo se pojavijo ideje, kot so Peanovi aksiomi, teorija množic, formalna konstrukcija naravnih, celoštevilskih, racionalnih, iracionalnih in realnih števil ter celo znamenite omejitve, ki jih je odkril Gödel.

Kaj pomeni, da številka "obstaja"?

Preden se poglobimo v formule in aksiome, je vredno razjasniti, kaj za vraga mislimo z "obstojem". Obstoj mize ni enak obstoju Sherlocka Holmesa ali obstoju ... število kot 24Miza je fizični predmet; Holmes je izmišljen, a dobro definiran lik; številka 24 pa ne zavzame prostora, ne tehta ničesar in je ni mogoče shraniti v predalu.

Eden od načinov pristopa k vprašanju, ki izhaja iz Platona, trdi, da so števila abstraktne entitete, ki živijo v nefizični domeniNiso narejene iz materije, so pa tako "resnične" kot pravičnost ali lepota v platonski filozofiji. S tega vidika matematiki ne izumljajo števil, temveč jih odkrivajo: število 24 je bilo "tam", čeprav se ga nihče ni spomnil.

Drugi filozofi in matematiki trdijo nekaj drugega: številke bi raje simboli in konceptualne konstrukcije, ki jih razvijamo za modeliranje sveta. Ne bi obstajali zunaj naših teorij in konvencij, čeprav bi bili matematični rezultati, ko bi bila ta pravila enkrat vzpostavljena, tako togi, kot bi si želeli. Pri tem pristopu je 24 rezultat sistema simbolov in operacij, o katerih smo se dogovorili, ne pa del neodvisnega matematičnega vesolja.

Obstajajo tudi zanimivi vmesni predlogi: nekateri avtorji trdijo, da je število neke vrste abstraktni objekt s posebno lastnostjo, da "če bi lahko obstajal, bi obstajal"Z drugimi besedami, koncept mora biti le mogoč in dobro definiran, da ima določeno vrsto logičnega ali matematičnega obstoja. Ta način govora nam omogoča, da vključimo ne le številke, temveč tudi množice, površine, funkcije, geometrijske like in številne druge entitete, ki jih vsakodnevno uporabljamo v matematiki.

Z vseh teh vidikov je osnovni problem podoben: Kakšna je razlika med obstojem številke in obstojem izmišljenega lika?Vsi vedo, kaj je številka 5, in vsi vedo, kdo je Sherlock Holmes, vendar jim ne pripisujemo enake resničnosti. Razprava, ki še zdaleč ni zaključena, običajno sproži več vprašanj kot odgovorov.

Številke, simboli in pomen: kaj pravzaprav pomeni "2"?

Če se znebimo tega, kar jemljemo za samoumevno, in na številke pogledamo objektivno, najprej opazimo pisni simboli ali zvoki, ko so izgovorjeni"2", ki jo zapišemo na papir, "dva", ki jo izgovorimo na glas, ali rimski "II" niso število samo, temveč predstavitve.

Simbol je sam po sebi preprosta poteza ali zvok brez vsebine. Pomen mu daje kolektivni dogovor: Odločili smo se, da ta poteza predstavlja količino, vrstni red, meroTako kot črke abecede, ki same po sebi ne pomenijo ničesar, ampak skupaj tvorijo besede, ki jih povezujemo z idejami, stvarmi ali dejanji.

Ta simbolična perspektiva razkriva nekaj pomembnega: V konkretni obliki številk ni nič "čarobnega".Lahko bi uporabljali povsem različne simbole in dokler bi se strinjali o istih pravilih in pomenih, bi matematika še vedno delovala. Pravzaprav je skozi zgodovino obstajalo veliko številskih sistemov s povsem različnimi simboli in pravili, a vendar so vsi služili za štetje, merjenje in računanje.

Vendar pa vsakodnevna uporaba številk daleč presega zgolj njihovo zapisovanje: Moč številk postane očitna, ko delamo z njimi.Seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, potenčevanje ... Vse te operacije nam omogočajo modeliranje resničnih pojavov: od deljenja torte do načrtovanja navigacijskega sistema GPS ali izračuna odmerka cepiva.

Prav zato, ker matematika temelji skoraj vso sodobno tehnologijo, so bili matematiki prisiljeni, zlasti od 19. stoletja naprej, da bi z največjo natančnostjo opredelili, kaj razumejo pod "številom"Ni bilo dovolj preprosto reči "to je tisto, kar uporabljamo za štetje"; potrebna je bila formalna definicija, da bi se izognili protislovjem in omogočili zanesljivo izgradnjo celotne teorije.

Ali obstajajo neskončna števila ali tudi to ni tako jasno?

Eno najbolj zapletenih vprašanj pri razpravi o obstoju števil je tema neskončnostiNavajeni smo reči, da obstaja neskončno veliko naravnih števil: 0, 1, 2, 3 ... in tako naprej. Če pa to sprejmemo, se pojavijo nekatera nenavadna vprašanja.

Na primer: če pomislimo na "množico vseh števil" in želimo eno izbrati "naključno", kakšna je verjetnost, da dobimo 5? Intuitivno bi lahko rekli nekaj takega kot 1 deljeno z neskončnostjo, kar bi se zdelo kot ničlaIn če je verjetnost nič, bi lahko kdo rekel, da se 5 "ne pojavlja" v tej množici, kar se sliši absurdno, saj je 5 očitno tam.

Ta vrsta sklepanja ponazarja spopad med vsakdanjimi intuicijami o neskončnosti in strog način obravnave verjetnosti in neskončnih množic v matematikiV teoriji mere in verjetnosti nekaj, kar ima ničelno verjetnost, ne pomeni, da je nemogoče; preprosto kaže, da je znotraj neskončnega kontinuuma njegova "teža" zanemarljiva. Z drugimi besedami, ideja, da "ničelna verjetnost = ne obstaja", v matematiki ni pravilna.

Iz tega izhaja še en, bolj filozofski predlog: morda števila niso "dana" kot popolna neskončnost, temveč Ustvarjamo jih korak za korakom, napredujemo brez omejitev, a ne da bi dosegli končno neskončnost.Z drugimi besedami, števila bi bila potencialno neskončna (vedno lahko seštevamo 1), vendar ne bi obstajala "skupna vsota" vseh njih kot nekaj zaprtega.

To stališče se povezuje s pojmom naravnih števil kot objektov, ki so konstruirani z zaporedjem (0, nato njen naslednik, nato naslednik naslednika in tako naprej), kar nas pripelje do znamenitega Peanovi aksiomi teorija množic kot formalna osnova sodobne matematike.

Od nič do ničle: množice, prazen prostor in naravna števila

Za natančno konstruiranje naravnih števil so se mnogi matematiki 19. stoletja zanašali na skupni jezik: Teorija množicIdeja je na videz preprosta: delamo z "množicami" (zbirkami) in "elementi" (kar spada v te zbirke) ter podajamo nekaj osnovnih aksiomov o njihovem obnašanju.

Eden od temeljnih aksiomov je aksiom razširitve: Dve množici sta enaki, če imata popolnoma enake elementeDruga, specifikacija, nam omogoča oblikovanje podmnožic iz pogoja: glede na množico A in lastnost T obstaja množica vseh elementov A, ki izpolnjujejo pogoj T.

S temi orodji lahko definiramo nekaj ključnega: prazen niz, ki je množica, ki nima elementov. Lahko jo predstavimo kot množico vseh x v A, tako da je x ≠ x (nemogoč pogoj), zato nihče ne vstopi v ta klub. Ta množica se običajno imenuje 0 in postane temelj formalne konstrukcije naravnih števil.

Od tam naprej lahko prva števila "poimenujemo" kot določene množice: prazno množico imenujemo 0, množico, ki vsebuje samo 0, imenujemo 1, množico, ki vsebuje tako 0 kot 1, imenujemo 2 in tako naprej. Vsako število je konstruirano kot množica, ki zbira na vse zgornje številkeTa način kodiranja naravnih števil (podobno kot Fregejev predlog in kasneje kot von Neumannov) omogoča povezavo reda "manj kot" z vključitvijo množic.

Za nadaljevanje potrebujemo aksiom združevanja: glede na zbirko množic obstaja množica, ki vsebuje vse elemente, ki pripadajo vsaj eni od njih. Definiramo tudi naslednik množice A saj je A+ = A ∪ {A}. To pomeni, da dodamo samo množico kot nov element, kar nam omogoča, da gremo "navzgor" število za številom.

To uvaja koncept naslednikMnožica S je nasledna množica, če vsebuje 0 in kadar koli vsebuje element A, vsebuje tudi njegovega naslednika A+. Ključni aksiom pravi, da obstaja vsaj ena nasledna množica. Če vzamemo presečišče vseh možnih naslednih množic, dobimo najmanjšo množico, ki jih vsebuje vse: prav tu je množica naslednic "ugnezdena". naravna števila, ℕ.

Peanovi aksiomi: zagotoviti, da je 1 + 1 = 2, ni tako trivialno.

Ko identificiramo ℕ kot minimalno množico, ki vsebuje 0 in je stabilna po zaporedju, lahko preučujemo njene lastnosti. Giuseppe Peano je konec 19. stoletja oblikoval zelo jedrnat seznam aksiomov, ki zajema bistvo vedenja naravnih števil.

V tipični različici, ki se začne z 1 namesto z 0, Peanovi aksiomi na splošno določajo naslednje: prvič, 1 je naravno številoDrugič, vsako naravno število ima naslednika, ki je prav tako naravno število. Tretjič, nobeno naravno število nima 1 za naslednika (ali, v drugi formulaciji, 0 ni naslednik nobenega naravnega števila). Četrtič, če množica naravnih števil vsebuje 1 in je zaprta z zaporedjem, potem vsebuje vsa naravna števila: to je načelo indukcijePetič, če imata dve števili istega naslednika, potem sta števili enaki.

Ti aksiomi, čeprav se zdijo formalni in nekoliko suhoparni, zajemajo ideje, ki jih nezavedno uporabljamo že od otroštva. Indukcija nam na primer omogoča, da dokažemo lastnosti tipa »vsa naravna števila zadoščajo X« tako, da dokažemo, da X velja za prvega. In če velja za eno številko, potem velja tudi za njeno naslednico. Gre za nekakšen logični domino učinek.

Iz teh aksiomov so izpeljane osnovne lastnosti naravnih števil, kot je ta, da Ni števila, katerega naslednik je 0ali da je operacija "naslednik" injektivna (če imata dve števili istega naslednika, sta isto število). Omogočajo nam tudi, da ℕ označimo kot edino množico, ki izpolnjuje določene kombinirane pogoje zaporedja in indukcije.

Najbolj zanimivo je, da lahko, izhajajoč iz tega logičnega okvira in pojma naslednika, strogo konstruiramo običajne aritmetične operacijeseštevanje, množenje in potenčne funkcije ter prikazati njihove klasične lastnosti (komutativnost, asociativnost, obstoj nevtralnih elementov itd.) brez sklicevanja na "intuitivno je tako".

Kako sestaviti vsoto, produkt in potenco nad ℕ

Ko sprejmemo Peanove aksiome in imamo množico ℕ dobro definirano, se lahko vprašamo: kako natančno definiramo operacije, kot je seštevanje, ne da bi jih jemali kot samoumevne? Za to uporabimo zelo močno orodje: Izrek o ponavljanju, ki zagotavlja obstoj in edinstvenost določenih funkcij, definiranih korak za korakom na naravnih številih.

Ideja je naslednja: če imamo množico X, začetni element a v X in funkcijo f: X → X, izrek zagotavlja, da obstaja edinstvena funkcija u: ℕ → X, tako da u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) za vsa naravna števila n. To pomeni, da lahko u konstruiramo tako, da f uporabljamo znova in znova, začenši z a, in ne bo dveh različnih načinov, kako to storiti, da bi spoštovala to definicijo.

Če to idejo uporabimo za naravna števila, lahko definiramo vsoto fiksnega števila m s poljubnim n. Vzemimo X = ℕ, a = m in funkcijo s: ℕ → ℕ, ki preslika vsak na v njegovega naslednika n+. Nato nam izrek o ponavljanju da funkcijo S_m: ℕ → ℕ, kjer je S_m(0) = m in S_m(n+) = s(S_m(n)). To funkcijo interpretiramo kot vsota m + nTo pomeni, da definiramo S_m(n) = m + n.

S to formalno definicijo nekaj tako običajnega, kot je 1 + 1, postane majhna veriga aplikacij: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Ne gre za to, da matematiki ne bi vedo, da je 1 + 1 enako 2, ampak za to, da želijo upravičiti, zakaj je znotraj aksiomatičnega sistema ta enakost neizogibna.

Iz te definicije lahko dokažemo lastnosti, kot so, da 0 deluje kot enotni element za seštevanje (m + 0 = my, 0 + m = m za vse m), da je seštevanje komutativni (a + b = b + a) in to je tudi asociativni ((a + b) + c = a + (b + c)). Vsi ti dokazi temeljijo na načelu indukcije in obnašanju naslednika.

Produkt je definiran podobno. Fiksiramo število m in vzamemo funkcijo P_m: ℕ → ℕ, tako da je P_m(0) = 0 in P_m(n+) = S_m(P_m(n)). P_m(n) interpretiramo kot m × nTako se na primer enačba 1 × 2 razvije kot P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Nato se z uporabo indukcije ponovno dokažejo njene lastnosti: komutativnost, asociativnost in da je 1 enotski element produkta.

Potence konstruiramo z nadaljnjim korakom: definiramo E_m: ℕ → ℕ, kjer je E_m(0) = 1 in E_m(n+) = P_m(E_m(n)), in zapišemo E_m(n) = m^n. Iz te definicije izhajajo identitete, kot je m^(n + k) = m^n × m^k, spet s pomočjo načela indukcije in že dokazanih lastnosti produkta.

Celoten postopek, čeprav formalen in nekoliko tehničen, ponazarja, da zgradba elementarne aritmetike ni "v zraku", temveč jo podpirajo nekaj zelo jasnih aksiomov in peščica logičnih argumentovS tega vidika "obstoj" naravnih števil pomeni, da obstaja model (na primer množice, zgrajene iz prazne množice), ki izpolnjuje te aksiome.

Od naravnih števil do celih števil, racionalnih in iracionalnih števil

Ko so naravna števila trdno uveljavljena, se zgodba tu ne konča. Vsakodnevni in znanstveni problemi nas silijo, da razširite to numerično vesoljeNa primer, pri naravnih številih znamo le šteti in seštevati, ne pa tudi odštevati na splošno ali deliti.

Naslednji korak je običajno uvedba cela števila, ki vključujejo naravna števila in njihove negativne različice: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Zgodovinsko gledano so ulomki obstajali pred negativnimi števili, vendar je s formalnega vidika priročno začeti s celimi števili. Celo število lahko definiramo kot razred ekvivalence parov naravnih števil (a, b), kjer dva para (a, b) in (c, d) smatramo za enakovredna, če je a + d = b + c. Intuitivno to ustreza razmišljanju o "odštej" od − b, čeprav formalno to odštevanje znotraj ℕ še ne obstaja.

Potem pa racionalna številaTi ustrezajo ulomkom, ki jih poznamo že od nekdaj. Uporabljajo se za merjenje količin, ki niso celo število enot, kot so polovica torte, tretjina litra ali tri četrt ure. Racionalno število je običajno predstavljeno kot a/b, kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0. Formalno je vsako racionalno število definirano kot ekvivalenčni razred parov (a, b), pri čemer b ni enak nič, kjer sta dva para (a, b) in (c, d) enaka, če a·d = b·cSe pravi, če predstavljajo enak delež.

Pitagorejci so verjeli, da je »vse število« v smislu »vse je racionalno«, vendar je bil ta pogled ovržen, ko so odkrili, da diagonale kvadrata s stranico 1 (kvadratni koren iz 2) ni mogoče zapisati kot ulomek celih števil. Kasneje je bilo tudi dokazano, da π in e sta iracionalni številiTo pomeni, da jih ni mogoče izraziti kot a/b s celima številoma a in b.

Za strogo konstrukcijo iracionalna števila To je nekoliko bolj občutljivo. Eleganten način za to je prek klicev. Dedekindovi reziIdeja je, da obravnavamo določene podmnožice racionalnih števil, ki imajo specifično zgornjo mejo. Na primer, lahko vzamemo množico vseh racionalnih števil, katerih kvadrat je manjši od 2; njen naravni "rez" je √2, kar ni racionalno. Na ta način lahko vsak primeren rez obravnavamo kot realno število, nekateri od teh rezov pa ne ustrezajo racionalnim številom.

Z združevanjem vseh racionalnih števil in vseh teh rezov, ki povzročijo iracionalna števila, konstruiramo množico realna števila, ℝV ℝ živijo vsa števila, ki jih uporabljamo za merjenje zveznih velikosti: dolžine, površine, časi, hitrosti itd. Znotraj realnih števil so še vedno "vgrajena" naravna, cela in racionalna števila, vsako s svojo specifično interpretacijo.

Kratek pregled zgodovine številskih sistemov

Vprašanje obstoja števil ni le abstraktno; odraža se tudi v zgodovini, kako so se različne kulture naučile štetje in zapisovanje količinNajzgodnejši dokazi o številčenju segajo okoli leta 7000 pr. n. št., pri čemer so se za preprosto štetje uporabljale oznake in kosti.

V starem Egiptu, v času Prve dinastije, so razvili hieroglifski decimalni številski sistem. Vsaka potenca števila deset je imela svoj simbol in bili so Elemente so združili v desetine.Uporabljali so ga za praktična opravila, kot so izračun davkov, merjenje kmetijskih polj ali gradnja templjev.

V Mezopotamiji so Sumerci in kasneje Babilonci uporabljali šestdesetiški številski sistem, tj. osnova 60Njegova kompleksnost je bila v velikem številu simbolov in možnih kombinacij, vendar se je izkazal za izjemno učinkovitega za astronomijo in merjenje časa. Pravzaprav to zapuščino še danes uporabljamo v urah, minutah in sekundah.

Grki so za referenco vzeli egipčansko desetiško številko in razvili sistem, v katerem so uporabljali črke njihove abecede, ki predstavljajo številkeAtiški sistem pa se je izkazal za precej togega in je nekoliko omejeval razvoj napredne aritmetike, čeprav so Grki izjemno blesteli v geometriji in logičnih dokazih.

Rimski sistem, ki nam je bolj znan, je določenim črkam (I, V, X, L, C, D, M) dodeljeval številčne vrednosti. Čeprav je bil na videz preprostejši od drugih, Ni bilo pozicijskoZaradi tega je bilo izvajanje zapletenih izračunov zelo nerodno. Za nekaj datumov na fasadi stavbe je to v redu, za algebro pa ne toliko.

Vzporedno se je v Indiji okoli 5. stoletja pred našim štetjem pojavil decimalni in pozicijski sistem. V tem sistemu je vrednost vsake števke odvisna od njenega položaja, deset enot enega reda pa je enakovrednih eni enoti naslednjega višjega reda. Ta sistem, ki je izrecno vključeval nič kot številoIzkazalo se je za neverjetno močno in praktično.

Arabci so v stiku s kulturami, kot so hindujska, grška in egipčanska, sprejeli in razširili ta decimalni pozicijski sistem. Čeprav govorimo o "arabskih številkah", v resnici Njegov izvor je v IndijiIslamska ljudstva so ga v Evropo prenesla, med drugim prek Al-Andalusa. Sčasoma je ta sistem izpodrinil rimske številke in postal svetovni standard.

V predkolumbovski Ameriki je majevska civilizacija razvila izjemno napreden numerični sistem, ki je temeljil na številu 20 in je bil tudi pozicijski. Poleg tega so izrecno prepoznavali ničlo. Številke so predstavljali z združevanjem pike in črte: pike za enote in črtice za združevanje v petice. Njegovo ravnanje s koledarjem in astronomijo je bilo osupljivo natančno.

Celoten zgodovinski pregled krepi idejo, da se oblike in pravila sicer spreminjajo, Potreba po štetju, merjenju in urejanju sveta je univerzalna.Zdi se, da se številke v svojih različnih inkarnacijah vedno znova pojavljajo povsod, kjer obstaja civilizacija, ki želi organizirati svojo izkušnjo okolja.

Meje sistema: Gödel in vera v matematiko

Konec 19. in v začetku 20. stoletja so si mnogi matematiki prizadevali matematiko spremeniti v popolnoma trdna zgradba, brez protislovijIdeja je bila najti končno množico osnovnih aksiomov, iz katerih bi lahko z uporabo čiste logike izpeljali vse druge matematične rezultate.

Osebnosti, kot je bil Henri Poincaré, so bile skeptične in so to ambicijo videle kot nedosegljivo, medtem ko so drugi, na čelu z david hilbertBili so prepričani, da je mogoče doseči popoln aksiomatski sistem za aritmetiko in posledično za ostale veje matematike.

Nato se je pojavil Kurt Gödel in dokazal dva izreka, ki sta za vedno spremenila dogajanje. Prvi, močno poenostavljeno, trdi, da v vsakem sistemu, ki je dovolj zmogljiv, da vključuje osnovno aritmetiko (na primer Peanovi aksiomi), vedno bodo obstajale resnične trditve, ki jih ni mogoče dokazati znotraj samega sistema. Z drugimi besedami: aritmetika ne more biti hkrati popolna in konsistentna.

Gödelov drugi izrek je še bolj zaskrbljujoč: kaže, da če je aksiomatski sistem, kot je aritmetični, konsistenten (nima protislovij), potem Te doslednosti ni mogoče dokazati znotraj samega sistema.Če bi nekdo dokazal, da v matematiki ni protislovij, pri čemer bi uporabil le njene aksiome in pravila, bi to paradoksalno pomenilo, da sistem ni koherenten.

Te sklepe so včasih razlagali kot nekakšno "kozmično šalo": če se tako močno zanašamo na matematiko kot končno orodje za znanje, moramo sprejeti, da v nekem smislu Verjeti moramo tudi v nekaj, česar ne moremo dokazati znotraj samega matematičnega okvira."Obstoj" razumnega aritmetičnega sistema brez protislovij zahteva minimalno dejanje vere.

Ko sestavimo celotno to pot – od simbolov in kosti Ishango, preko Egipta, Babilona, ​​Indije in Majev, do teorije množic, Peanovih aksiomov, formalnih konstrukcij različnih vrst števil in Gödelovih izrekov – vidimo, da so števila hkrati človeška orodja in presenetljivo robustne struktureLahko razpravljamo o tem, ali "obstajajo" kot abstraktne entitete ali kot sofisticirane konvencije, vendar je jasno, da oblikujejo naše razumevanje vesolja in nas na nek način presegajo: tudi če bi izginili, si je težko predstavljati kozmos, v katerem 1 + 1 ne bi bilo več 2.